De Dubbelverhouding bij 4 collineaire punten geeft weer hoe deze punten ten op zichte van elkaar gelegen zijn.

Eigenschap
De Dubbelverhouding van 4 collineaire punten is invariant voor een projectieve transformatie

Hoe de dubbelverhouding berekenen bij 4 collineaire punten?

  • A (x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4) en P Q R willekeurig maar niet alle 3 nul



  • Stel dat A1, A2, A3 en A4 eigenlijke collineaire punten zijn verschillend van elkaar dan is de dubbelverhouding (A1 A2 A3 A4) = (A1 A2 A3) / (A1 A2 A4)

  • A1 A2 A3 A4 zijn collineair
    => Kies eigen projectieve ijk met A1 en A2 als basispunten
    => parameter van de rechte A1 A2:
            x = A1(x) k + A2(x) l
            y = A1(y) k + A2(y) l
            z = A1(z) k + A2(z) l
    => (delen door k niet gelijk aan 0)
            x = A1(x) + A2(x) h
            y = A1(y) + A2(y) h
            z = A1(z) + A2(z) h
    =>
    (A1 A2 A3 A4) = [h met A3 gesubstitueerd in parameter vergelijking (LL)]  /  [h met A4 gesubstitueerd in parameter vergelijking (LL)]
De Dubbelverhouding bij 4 concurrente rechten geeft weer hoe deze rechten ten op zichte van elkaar gelegen zijn.

Eigenschap
Om wille van dualisering zijn de zelfde eigenschappen van toepassing als bij dubbelverhouding bij 4 collineaire punten

Hoe de dubbelverhouding berekenen bij 4 concurrente rechten?

Maak gebruik van lijncoördinaten en pas dezelfde formules toe.
ux + vy +wz= 0 heeft lijncoördinaten (u,v,w)